Diferenční formule pro náhradu derivací

Pro výpočet derivace složitější funkce nebo funkce zadané tabulkou hodnot můžeme použít diferenčních formulí. Jejich tvar vychází z toho, že původní funkci nahradíme jejím interpolačním polynomem a jeho derivace, které se snadno spočítají, pak bereme jako přibližné hodnoty derivace původní funkce. 

Nejčastěji se používají diferenční formule obsahující funkční hodnoty v několika sousedních uzlech. Používá se ekvidistantní síť uzlových bodů s krokem h = x_i+1-x_i. Přesnost diferenční formule je dána velikostí kroku h i počtem uvažovaných sousedních funkčních hodnot. Vyjadřujeme ji opět pomocí mocniny h. Doporučuje se používat na celém intervalu formule stejné přesnosti

Uvažujme interval nezávisle proměnné á0, Xñ a ekvidistantní síť uzlových bodů x_i, i=0,  ..., n. Dále jsou uvedeny základní diferenční formule pro náhradu první a druhé derivace funkce u(x) a to: obecný vztah pro libovolný vnitřní bod intervalu a konkrétní vztahy pro levý a pravý okraj intervalu. Vztahy pro první derivaci a pro vnitřní bod u druhé derivace jsou, co se týče přesnosti, 2.řádu, pro okrajové body pro druhou derivaci 1.řádu. Složitější a většinou tím i přesnější formule lze nalézt v literatuře.

První derivace

vnitřní bod intervalu, i=1,  ..., n-1

(2.2.-8)

levý okraj intervalu

(2.2.-9)

pravý okraj intervalu

(2.2.-10)

Druhá derivace

vnitřní bod intervalu, i= 1,  ..., n-1

(2.2.-11)

levý okraj intervalu

(2.2.-12)

pravý okraj intervalu

(2.2.-13)