Příloha 1

Vybrané základní vztahy

V této příloze uvádíme přehled vybraných základních vztahů využitelných při vytváření matematických modelů z oblasti přenosu tepla a hmoty, chemické kinetiky a biotechnologie. Výklad k těmto vztahům je zde pouze minimální, v případě potřeby lze podrobné informace najít v učebnicích fyziky, chemie, fyzikální chemie,  biochemie a technologických předmětů.

1  PŘENOS TEPLA A HMOTY

·      přenos tepla vedením:     

množství tepla  dQ  přenesené za čas  dt  ve směru souřadnice  x :      

       (A ... plocha kolmá na směr šíření tepla, l ... tepelná vodivost prostředí)

·    přenos tepla mezi dvěma prostředími:

množství tepla dQ přenesené za čas dt  z prostředí o teplotě T₁ (tekutina, tj. kapalina nebo plyn) do prostředí o teplotě T₂  (pevná látka) :  

       (A ... plocha kterou teplo prochází,   a ... koeficient přestupu tepla)

·       průchod tepla stěnou:     

množství tepla dQ přenesené za čas  dt  z tekutiny o teplotě  T₁  stěnou  do tekutiny o teplotě  T₂ :       

		dQ = kA.(T1 - T2).dt               (T1 > T2)	(P-2.3)

k ... koeficient prostupu tepla,   a₁, a₂ ... koeficienty přestupu tepla mezi stěnou a tekutinami,

d ... tloušťka stěny,  l ... tepelná vodivost materiálu stěny

·       přenos hmoty:     

platí analogické vztahy, odpovídající veličiny jsou:          
                   Q » M   ... přenesená hmotnost         
                   T » c     ... koncentrace          
                   l » D    ... difúzní koeficient    
                   a » b    ... koeficient přestupu hmoty

2  KINETIKA  CHEMICKÝCH  REAKCÍ

Obecně (podle zákona Guldberg - Waageova) je rychlost chemické reakce funkcí koncentrací reakčních složek (při konstantní teplotě). Je-li schéma reakce o dvou reaktantech

        a.A + b.B  ®  produkty,

pak je reakční rychlost dána vztahem

        r = k.(c_A)^a.(c_B)^b

(k ... rychlostní konstanta,  c_A , c_B ... koncentrace složek A a B). Součet všech exponentů u koncentrací složek (zde = a+b) je tzv. řád reakce. Ten souvisí s jejím chemickým mechanizmem a projeví se na tvaru vztahu pro reakční rychlost:

Závislost reakční rychlosti na teplotě se nejčastěji vyjadřuje podle empirické Arrheniovy rovnice:

(A_k ... frekvenční faktor (konstanta),   E_a ... aktivační energie,   R ... univerzální plynová konstanta,
T ... termodynamická (absolutní) teplota).

3  KINETIKA  BIOTECHNOLOGICKÝCH  PROCESů

Při modelování kinetiky biotechnologických procesů se velmi často používá vztahů, které byly odvozeny na základě experimentů a mají semiempirický nebo empirický charakter. V praxi se však dobře osvědčují.

·   Enzymové reakce:     

U většiny enzymových reakcí předpokládáme průběh podle schématu:

        Enzym + Substrát  Û  Enzym + Produkt

a rychlost reakce je pak dána rovnicí Michaelis-Mentenové:

(S ... koncentrace substrátu,  v_M ... maximální rychlost,  K_M ... tzv. Michaelisova konstanta, hodnoty obou závisejí na podmínkách reakce, především na teplotě a na  pH)

·   Růst mikroorganizmů a jejich odumírání     

Tento proces se obvykle modeluje jako chemická reakce 1.řádu a jeho rychlost je pak popsána vztahem:

(x ... množství nebo koncentrace mikroorganizmů,  m ... specifická růstová rychlost,

d ... specifická rychlost odumírání).

Specifická růstová rychlost souvisí s biochemickou podstatou procesu a v nejběžnějších případech se vyjadřuje takto:

	-- při limitaci substrátem:		(P-2.11)
	-- při inhibici substrátem:		(P-2.12)
	-- při inhibici produktem:		(P-2.13)

(m_max ... maximální růstová rychlost,  S ... množství nebo koncentrace substrátu,

P ... množství nebo koncentrace produktu,   K_S ... saturační konstanta, 

K_I  ... konstanta inhibice substrátem,  K_P ... konstanta inhibice produktem).

Specifická rychlost odumírání je v nejběžnějších případech konstantní, popřípadě je funkcí okamžité koncentrace mikroorganizmů..

·   Sterilace teplem     

Sterilace teplem se obvykle modeluje také jako chemická reakce 1.řádu a její rychlost je tedy dána vztahem

(N ... počet živých mikroorganizmů, t ... čas, k ... koeficient odumírání, který je funkcí teploty T specifickou pro každý mikroorganizmus)