s počáteční podmínkou y(t0) = y0
Příloha
Metody Runge-Kutta pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic
Metody Runge-Kutta patří mezi krokové metody a jsou velmi často používané. Jsou výpočetně poněkud složitější, ale také přesnější - metoda Runge-Kutta 2.řádu má přesnost h2, metoda Runge-Kutta 4.řádu má přesnost h4. Vzorce předpokládají diferenciální rovnici obecně zapsanou ve tvaru
|
|
|
s počáteční podmínkou y(t0) = y0 |
(t ... čas, obecně nezávisle proměnná, y ... závisle proměnná, g ... funkční předpis, jehož tvar známe). Spojitý interval nezávisle proměnné na kterém hledáme řešení diskretizujeme stejně jako u Eulerovy metody a dostaneme řadu bodů ti , pro něž platí
|
|
ti+1 = ti + h |
pro i = 0, 1, 2, ... |
Hodnoty závisle proměnné Yi v bodech ti pak vypočteme při použití metody Runge Kutta 2.řádu podle vztahů
|
|
|
pro i = 0, 1, 2, ... |
|
|
|
|||
|
|
a při použití metody Runge-Kutta 4.řádu podle vztahů
|
|
|
pro i = 0, 1, 2, ... |
|
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
Hodnota Yi+1 je přibližně rovna hledanému řešení y(ti+1), přičemž na počátku Y0 = y0 .
